פונקציה

הגדרה

תהינה שתי קבוצות
פונקציה היא העתקה המתאימה לכל איבר מסוים ויחיד המסומן ב
נקרא התחום של
נקרא הטווח של
נקרא התמונה של
נקרא המקור של
הקבוצה נקראת התמונה של
לפעמים מסומנת
גרף של פונקציה זה אוסף הזוגות

דוגמאות

• נגדיר על ידי
  התחום
  הטווח
  התמונה
• נגדיר על ידי
  תחום
  טווח
  תמונה

תהיה נחמד

תוסיף גרפים, מה אכפת לך

תכונות

• תקרא חסומה מלעיל אם
• תקרא חסומה אם היא גם חסומה מלעיל וגם חסומה מלרע
• תקרא מונוטונית עולה חלש אם
• באופן דומה ניתן להגדיר מונוטונית עולה חזק, יורדת חלש ויורדת חלש
• תקרא זוגית אם
• תקרא אי-זוגית
• היא חד-חד-ערכית (חח”ע) אם
• תיקרא על אם

פעולות

חיבור

תהינה
נגדיר:

כפל

תהינה
נגדיר:

חילוק

תהינה
בתנאי ש, נגדיר

הרכבה

תהינה
נגדיר פונקציה

בשלב הזה אם יש לך כוח

תרשים כזה של שלוש אליפסות וחיצים ו

יש ניתן למצוא דוגמה בהרצאה 13

טענה על פונקציות חח”ע

תהא פונקציה. אזי, הטענות הבאות שקולות, נסמן

1. חד-חד-ערכית
2. קיימת כך ש:

הוכחה

נוכיח
נניח חח”ע
עלינו להגדיר כך שהמסקנה מתקיימת
נגדיר , יהי . קיים אחד ויחיד כך ש .
לכן נגדיר את להיות , כלומר . כעת נוודא שהמסקנה מתקיימת.
יהי , אזי

עכשיו נוכיח
נניח כי קיימת כך ש, עלינו להוכיח כי חח”ע
יהיו כך , צריך להוכיח כי .
נתון , נפעיל את על שני האגפים.

טענה על פונקציות על

תהא פונקציה. אזי, הטענות הבאות שקולות

1. על
2. קיימת כך ש:

הוכחה

נראה
נניח על
יהא , כיוון ש על, קיים כך ש
נבחר (שכן לא חח”ע אז יכול להיות ריבוי של ) כזה ונגדיר
ואכן
יהי , אזי

עכשיו נראה
נניח כי קיימת כך ש ונוכיח כי על
יהי , עלינו להראות כי קיים כך ש.
נבחר ב כך ש ואכן

פונקציה הופכית

תהא חח”ע ועל. יהיו כך ש

(אנחנו יודעים ש קיימות לפי הטענה על פונקציות על והטענה על פונקציות חח”ע)
אזי פונקציה, זו מסומנת ב ונקראת הפונקציה ההופכית של

הוכחה לקיום הפונקציה ההופכית

יהי
נתבונן ב
מצד אחד:

ומצד שני:

לכן

פונקציה הפיכה

נאמר כי הפיכה אם
אם קיימת כך ש
מוגדרת כך ש-
וגם
מוגדרת כך ש-

פונקציות אלמנטריות

1. פולינומים (מעל ):
2. פונקציות רציונליות: מנה של שני פולינומים. כאשר פולינומים. תחום ההגדרה המקסימלי הוא
3. פונקציות מעריכיות: כאשר ממשי
4. פונקציות טריגונומטריות:

זה כבר חשוב

מעגל היחידה, אולי בnote אחר לגבי טריגונומטריה ואז פשוט לקשר אליו?

כמו כן, כל פונקציה המתקבלת מהרכבה/חיבור/חיסור/כפל/חילוק/הופכי (בתחומי ההגדרה המתאימים) של פונקציות אלמנטריות היא אלמנטרית
ראוי לציין כי קיימות פונקציות שאינן אלמנטריות ואפילו כאלו שהן מאוד “אקזוטיות” ולא אינטואיטיביות, דוגמאות לכך ניתן לראות גם בדוגמאות לפונקציות אקזוטיות

משפט על אלמנטריות

אם אלמנטרית, וגם בתחום ההגדרה של אזי