הלמה של היינה-בורל
הגדרה
יהיה
Link to originalכיסוי פתוח של קבוצה סגורה
אזי קיים ל-תת כיסוי סופי.
תרגיל
השתמשו בלמה של היינה-בורל על מנת להוכיח שקיים מספר אי-רציונלי בקטע
פתרון
נניח שכל המספרים ב
ראינו בהרצאה שניתן לסדר אותם בסדרה
נסמנה
נבנה כיסוי פתוח של
נגדיר
נגדיר
לכל
(בלי הגבלת הכלליות נניח כי
נשים לב
אם
ולכן
קיבלנו סתירה להנחה שכל המספרים בקטע הזה הם רציונליים, ועל כן יש לפחות רציונלי אחד בקטע זה.
חזקות ממשיות
חזקות ממשיות
מה זה
הגדרנו את
כאשר
לדוגמה
ההגדרה מוגדרת היטב
כלומר אם ניקח
תזכורת
ראינו כי
תרגיל
תהי
פתרון
ראינו בכיתה כי
בפרט לכל
הביטוי שבתוך הסוגריים ב
את הביטוי מימין נוכל לכתוב כ
על פי חשבון גבולות וגבול שהוכחנו
בנוסף, את השמאלי אפשר לכתוב
חשבון גבולות + גבול שהוכחנו
ולכן מסנדוויץ’
תרגיל עצמי
- לכל
- לכל
תרגיל
תהי
אזי
פתרון
מתכונות ערך שלם תחתון
נחפש
נבחר
מכיוון ש
מכאן נובע שלכל
(איכשהו, לא לגמרי הבנתי)
נחלק למקרים.
אם
ואם
ולכן לכל
תרגיל בית
אם
, אזי
לכן, ולפי מה שהוכחנו בתרגיל הבית
ולכן מסנדוויץ’
הערה
בעזרת התרגיל ניתן להוכיח שאם
ו אזי כאשר ,
פונקציות
מה זה פונקציה?
בהינתן שתי קבוצות
בטטות
הגדרות
נאמר כי
באופן שקול
אם
נאמר כי
באופן שקול
יהיו
נגדיר
איך נגדיר את
לא תמיד ניתן להגדיר את
כפי שניתן לראות בתרשים המאוד ברור הזה, אפשר תמיד להגדיר
נו באמת
מה זה הזבל הזה, תפנק בתרשים נורמלי
ניתן להגדיר
תרגיל
מצאו את
פתרון
נמצא תחום הגדרה עבור
שנית,
כלומר
מחלק למקרים בהם
חישובים חישובים חישובים