טופולוגיה של הישר הממשי

הגדרות

נקודה הצטברות

תהי . נקודה תיקרא נקודת הצטברות אם כל סביבה של מכילה נקודה

הגדרה שקולה

נאמר ש היא נקודת הצטברות של אם לכל , קיים בסביבה הנקובה נקודה מ ששונה מ-.
או בצורה יותר פורמלית

נסמן ב את אוסף נקודות ההצטברות של

דוגמאות

• אזי .
• אזי .

נקודה מבודדת

תהי , תקרא נקודה מבודדת אם קיימת סביבה נקובה של שלא מכילה אף נקודה מ-.

קבוצה סגורה

נאמר כי סגורה אם
, כלומר מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה

סגור של קבוצה

הסגוֹר (יש חולם על ה-ו) של מוגדר להיות
סגורה

משפט על קבוצות סגורות

סגורה (המשלים של ) פתוחה

הוכחה

נוכיח את המשפט השקול לא פתוחה לא סגורה (כי )
לא פתוחה קיימת שאינה נקודה פנימית קיימת שאין לה סביבה ב- קיימת כך שלכל קיים ב- קיימת כך שלכל קיים ב- קיימת שהיא נקודת הצטברות של לא סגורה

קבן