תרגול 13

תנאי קושי

נאמר שסדרה מקיימת את תנאי אם לכל , קיים , לכל , . מתקיים

משפט

מתכנסת סדרת קושי

הערה חשובה

1. ניתן להוכיח כי מתכנסת מבלי למצוא (או אפילו לנחש) את הגבול.
2. אם לא מקיימת את תנאי קושי, אזי לא מתכנסת

Link to original

תרגילים לאחר כך (בבית)

1. לא קושי (קל)
2. לא קושי. (קשה)

todo

את התרגילים…

תרגיל

הוכיחו לפי הגדרה כי הסדרה

היא סדרת קושי

פתרון

יהי . נרצה למצוא , יהיו מתקיים

בלי הגבלת כלליות נניח כי
נרצה לקרב את הביטוי ל. לכן נגדיל את המונה ונקטין את המכנה

לכן נבחר

תרגיל

הוכיחו הפריכו
א. אם , אזי קושי.
ב. אם אזי קושי
ג. יהי , יהי , יהי . לכל מתקיים האם זה גורר שלכל מתקיים

פתרון

א. לא, דוגמה נגדית
אכן מתקיים כי , נראה לפי הגדרה שהיא לא סדרת קושי
לא קושי אם קיים , לכל , קיימים כך ש
נוכיח שזה נכון על
נרצה לבחור , יהי , נרצה לבחור גם כך ש
נבחר את כך ש
מתקיים

אנחנו רוצים להקטין את הביטוי, לכן נגדיל את הביטוי, לכל מתקיים ולכן

נבחר

נבחר זוגי, שגדול מ, נגיד
צריך שיתקיים , נבחר את

ב.
נכון! הוכיח
בה”כ

לפי אי שוויון המשולש

סכום סדרה הנדסית סופית, האיבר הראשון הוא , המנה
מספר האיברים הוא
כי

לכן הסכום שווה ל

נקרא לחישוב הזה (*).
יהי ,
(צריך לנמק!!!)
ולכן עבור קיים , כך שלכל מתקיים . נבחר
יהיו .
לכן, לפי החישוב (*) אפשר לראות ש
טופולוגיה של הישר הממשי

תרגיל

תהא , יהי הוכיחו שהבאים שקולים

2. קיימת סדרה של איברים ב כך ש
3. קיימת סדרה של איברים ב שונים זה מזה, כך ש
4. לכל , קיימים מאיברי הסדרה ב

פתרון

ראשית נוכיח כי
ולכן לכל קיימת נקודה ב השונה מ בקטע . לכל , נבחר . לכן בקטע קיימת נקודה מ שאינה . נסמנה
היא סדרה של איברים ב,
ולכן מסנדוויץ’
כעת נוכיח
נבנה תת סדרה של שכל איברה שונים. באינדוקציה על
בסיס: , נבחר
הנחה:
נניח שבחרנו כך ש שונים, הכי קרוב ל
צעד: ולכן מהגדרת הגבול עבור , קיים לכל מתקיים
נבחר
המרחק של מ הוא ולכן קטן מהמרחק של מ
ולכן שונה מ
זה מבטיח לנו ש כי אחרת ואז

וזו סתירה.

נוכיח
. עבור , קיים , לכל מתקיים לכל , אלו אינסוף מאיברי הסדרה (אולי צריך לציין פה את אקסיומת ארכימדס? צריך לשאול) הם גם אינסוף מאיברי הקבוצה

נוכיח כי
יהי
יש אינסוף מאיברי בסביבה .
לכן לפחות אחד מהם אינו . לכן יש איבר מ שאינו ב. מכיוון שזה נכון לכל , ולכן נקודת הצטברות של מה שאומר ש

תרגיל

הוכיחו כי סגורה לכל מתקיים (כל סדרה מתכנסת ב, גבולה ב).

דוגמאות

לא סגורה כי
סגורה. כל סדרה מתכנסת ב היא סדרה קבועה החל ממקום מסוים, ולכן מתכנסת לגבול ב.
לא סגורה, כי למשל סדרת רציונליים שמתכנסת למספר אי-רציונלי.
סגורה.

פתרון

ראשית נוכיח
נזכיר כי סגורה
תהי
אם קיים כך ש , אחרת כל איברי שונים מ, לפי התרגיל . סגורה ולכן

נוכיח
מתרגיל קודם, קיימת סדרה . מההנחה, כל סדרה מתכנסת ב מתכנסת לגבול ב, ולכן , היה שרירותי ולכן כלומר כלומר סגורה

שאלות

קבוצות סגורה
א. האם קבוצה סגורה?
ב. הא
ם קבוצה סגורה?