נסמן ב- את גבול הסדרה
לכן, עבור קיים כך שלכל מתקיים ובפרט אם ניקח שני איברים כך ש אזי שניהם מקיימים ולכן
משפט
כל סדרת קושי היא סדרה מתכנסת
הוכחה
רעיון ההוכחה
נראה שהיא סדרה חסומה, מכאן שיש לה גבול חלקי. נראה שהיא שואפת לאותו גבול חלקי
ראשית נוכיח כי חסומה.
עבור קיים כך שלכל מתרחש לכן (כי הצלחנו לחסום ממקום מסוים, אז יש חסם עליון, פשוט הוא המקסימום של החסם שמצאנו. והמקסימום של כל האיברים שלפני). הוא חסם של הסדרה. באותה מידה ניתן להגדיר חסם תחתון . על פי משפט קיים גבול חלקי.
נוכיח כי .
יהי . עבור קיים כך שלכל , מתקיים . מכיוון ש גבול חלקי’ יש אינסוף מאיברי בסביבת , ובפרט קיים כך ש.
סה”כ, לכל מתקיים
אי שוויון המשולש + קצת אלגברה. בפרט
הערה חשובה
ניתן להוכיח כי מתכנסת מבלי למצוא (או אפילו לנחש) את הגבול.