נתחיל בא. ב.
ראינו שאם סדרה מתכנסת לגבול אזי כל תת-סדרה שלה מתכנסת ל- וזה בדיוק מה שצריך להוכיח (איזו מין הוכחה זו אלוהים אדירים)
עכשיו ב. א.
נניח בשלילה שיש גבול חלקי יחד (נקרא לו ) וש- לא מתכנס ל. כלומר קיים כך שיש אינסוף מאיברי מחוץ לסביבה , נסמן את אינסוף האיברים הללו בתור התת-סדרה . ממשפט , יש ל גבול חלקי , כמו כן , וזו סתירה.
תרגיל
הוכיחו כי לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מונוטונית
פתרון
מספיק להוכיח שלכל סדרה מתכנסת יש תת סדרה מונוטונית, זה בגלל שלפי לכל סדרה מתכנסת יש תת סדרה מתכנסת, ולתת-סדרה הזו יהיה קל למצוא תת-סדרה מונוטונית.
תהא אותה תת סדרה, היא מתכנסת לגבול כלשהו
אם היא מונוטונית, טריוויאלי.
אם לא, אז יש אינסוף איברים שנמצאים ב או אינסוף שנמצאים ב. אפשר לבחור אחד מהם כתת סדרת מונוטונית.
הגדרה
תהא סדרה חסומה. נסמן ב את קבוצת כל הגבולות החלקיים של . נשים לב כי על פי משפט . כמו כן, חסומה (כי חסומה, אז הגבולות החלקיים שלה גם נמצאים בין החסמים של הסדרה). מכיוון שהיא חסומה יש לה סופרימום ואינפימום. נקרא הגבול העליון של ומסומן נקרא הגבול התחתון של ומסומן
משפט
תהא סדרה חסומה, אזי ו הם גבולות חלקיים של כלומר.
מסקנה קטנה
הוא גם ו הוא גם
הוכחה
נוכיח עבור
נגדיר
מספיק להוכיח שלכל יש אינסוף איברים מתוך בסביבה .
יהי . כיוון ש הוא הסופרימום, עבור קיים גבול חלקי ששייך ל הוא גבול חלקי ולכן קיימים אינסוף איברי בסביבה . על הסביבה הזו ניתן לומר כי ולכן גבול חלקי.
תרגיל בית
הוכח על הגבול התחתון
נגדיר
מספיק להוכיח שלכל יש אינסוף איברים מתוך בסביבה .
יהי . כיוון ש הוא האינפימום של , עבור קיים גבול חלקי ששייך ל- הוא גבול חלקי ולכן קיימים אינסוף איברי בסביבה . על הסביבה הזו ניתן לומר כי ולכן גבול חלקי.
תרגיל קטן וקשור
תהא סדרה של גבולות חלקיים כך ש היא סדרה מתכנסת. הוכיחו כי הוא גם גבול חלקי של סדרות קושי
תרגיל (קשה)
תהא סדרה כך שלכל קיים כך שלכל מתקיים
הוכח/הפרך ש מתכנסת
באופן שקול
אזי מתכנסת (לגבול סופי)
פתרון
לא בהכרח, למשל נגדיר . מתקבל כי
אבל נראה כי . כלומר אין לה גבול סופי.
מכיוון וזה סיוט, נניח שהצלחנו
לא משנה ויתרתי על להבין