גבול חלקי

הגדרה

יקרא גבול חלקי של סדרה אם קיימת תת סדרה כך ש

הסבר יותר אנושי

גבול של תת-סדרה

גבול של תת סדרה

אם מתכנסת (במובן הרחב)
אז כל תת סדרה מתכנסת לאותו הגבול.
לכל סדרה חסומה יש גבול חלקי
לכל סדרה יש גבול חלקי במובן הרחב

הוכחה

נוכיח עבור כאשר
תהא סביבה של . לכן קיימים מספר סופי של איברים בסדרה שאינם שייכים לסביבה של , ולכן בפרט רק מספר סופי מהם נמצאים בתת סדרה , כלומר יש רק מספר סופי של איברים בתת סדרה שלא נמצאים בסביבה של

משפט בולצאנו ווירשטראס

ס
לכל סדרה חסומה קיימת תת סדרה מתכנסת
אפשר באותה מידה לומר שלכל סדרה חסומה יש גבול חלקי

הוכחה

למה

הוא גבול חלקי של בכל סביבה של יש אינסוף איברים של

הוכחה של הלמה

נוכיח את הכיוון
נבחר את להיות איזשהו איבר ב . נבחר את להיות איבר ב כך ש

ובאופן כללי נבחר את להיות איזשהו איבר בסביבת כך ש . יש לציין שתמיד נצליח לבחור איבר , כך שישנם אינסוף איברים בסביבה ובחרנו עד כה מספר סופי של אברים. כעת נשים לב כי