יהיו קבוצות סגורות:
א. קבוצה סגורה
ב. קבוצה סגורה
ג. אם חסומה סגורה
פתרון
א. נכון! ראינו בהרצאה כי איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה.
ב. לא נכון!, דוגמה נגדית
ו- לא מכילים אף סדרה מתכנסת ולכן אין להן אף נקודת הצטברות ולכן מכילות את כל נקודות ההצטברות שלהן באופן ריק, ולכן סגורות.
אבל בקבוצה ניתן למצוא את האיברים
ולכן מתקיים אבל לא שייך
ג. נכון, נוכיח
אם סגורה, אחרת
תהי אזי קיימת גורר שקיימות סדרות ו- כך ש לא בהכרח מתכנסת, אבל היא חסומה כי חסומה ולכן מBW קיימת לה תת סדרה מתכנסת , כתת סדרה של סדרה מתכנסת סגורה סגורה