נניח בשלילה שאין תת כיסוי סופי.
נסמן את הקטע הסגור . נחצה אותו, לפחות לאחד החצאים, נסמנו אין תת כיסוי סופי. נחצה אותו. לפחות לאחד החצאים, שנסמנו אין תת כיסוי סופי, וכו’.
מתקבלת סדרת קטעים שגורים של קטעים סגורים שאורכיהם שואפים ל- ומקיימים
לכן, לפי הלמה של קנטור. יש נקודה יחידה שמקיימת לכל
קיים כך ש. קטע פתוח, ולכן קיים כך ש-. ניקח כך ש
סתירה! יש ל תת כיסוי סופי (ההנחה בשלילה), אבל הוא כולו מוכל בקטע
שימוש בלמה בשביל להוכיח את משפט BW
נוכיח באמצעות הלמה את משפט BW
תהי סדרה חסומה. לכן יש כן ש לכל .
נניח בשלילה שאין ל-תת-סדרה מתכנסת, כלומר ל אין גבול חלקי.
לכן לכל יש סביבה שבה יש רק מספר סופי של איברים מ.
נגדיר , זהו כיסוי פתוח של
לפי היינה-בורל יש תת-כיסוי סופי. סתירה
כי בכל יש מספר סופי של איברי ולכן גם במספר סופי של קטעי יש מספר סופי של איברי , ולכן בכל יש רק מספר סופי של איברי , שזה סתירה לזה ש הם חסמים של הסדרה מלעיל ומלרע.