הלמה של קנטור

הגדרה

תהינה סדרות כך שלכל מתקיים.

ובנוסף

אזי

הוכחה

נשים לב ראשית כי וגם קיימים. מדוע?
כיידוע כי מונוטונית עולה חלש וחסומה מלעיל מ ובאותו אופן מונוטונית יורדת חלש וחסומה
נותר להראות כי

גרסה אחרת ושקולה

תהא סדרה של קטעים סגורים כך שאורכיהם שואפים ל ו
אזי קיימת נקודה אחת בודדת שייכת לכל הקטעים, כלומר:

הוכחה לגרסה האחרת

נגדיר שתי סדרות, ונשים לב שמתקיים

וכמו כן (אורך הקטע ה -י)
לכן קיים גבול משותף
צריך להראות ש היא הנקודת היחידה המשותפת לכל הקטעים
מדוע משותפת לכל הקטעים?
, הוא הגבול של שהוא מונוטונית יורדת חלש ולכן ובאותו אופן, הוא הגבול של שהיא מונוטונית עולה חלש ולכן
יהא , בה”כ נקבע כי . לכן קיים שמקיים , ולכן