חסומה קיים
נגדיר כקבוצת הגבולות החלקיים
מכיוון ש חסומה, על פי משפט BW קיימת לה תת-סדרה מתכנסת, כלומר
נניח בשלילה ש- לא חסומה מלמעלה
יהי , מכיוון ש- אינה חסומה מלעיל, קיים כך ש , כלומר נמצאים אינסוף מאיברי הסדרה מעל . כלומר לא קיים כך שלכל , , סתירה לכל ש חסומה.
לכן בהכרח חסומה מלמעלה, ולכן מאקסיומת השלמות קיים לה סופרימום
נניח בשלילה שהטענה לא מתקיימת, כלומר:
קיים , לכל , קיים כך ש
נבנה באינדוקציה תת סדרה המקיימת בסיס: עבור , קיים המקיים . נסמנו הנחה: נניח שבחרנו כך ש
צעד:
לפי ההנחה, עבור קיים המקיים
מתקיים
בנינו את זו לא סדרה מתכנסת, וכן חסומה כי חסומה. ולכן לפי BW קיימת תת סדרה מתכנסת , תת סדרה של , ולכן
אבל! לכל :
לכל :
ולכן מיחס של גבולות
וזו סתירה מהטענה ש
תרגיל
הוכיחו או הפריכו
יהיו חסומות
א.
ב.
פתרון
א.
לא!, דוגמה נגדית
ב. כן, נוכיח הוא גבול חלקי של ולכן מהגדרה, קיימת תת סדרה שמתכנסת ל
הסדרה לא בהכרח מתכנסת, אבל כן חסומה. לכן לפי BW קיימת סדרה
כי היא תת סדרה של סדרה מתכנסת
(נוכל לקחת תת סדרה של , להראות שהיא כן מתכנסת ולעבוד משם. אבל במקום זה, נוכיח שהיא עצמה מתכנסת)
ולכן מתכנסת לפי אריתמטיקה של חיסור , הוא גבול חלקי של
תרגיל
תהי סדרה חסומה, נתון כי , נתון
הוכיחו כי קיים לג”ח נוסף
פתרון
טענה: בקטע קיימים הסדרה
הוכחת הטענה:
נניח בשלילה שבקטע יש מספר סופי של איברים
החל ממקום מסויים (לכל ) אין בקטע זה אף איבר מ
בנוסף, ולכן קיימים אינסוףף מאיברי הסדרה בקטע , בפרט קיים כך ש
ולכן קיים כך ש
לפי “שורה של כדורים” (מה זה אומר עומרררר)