פולינום

הגדרה

פולינום ממשי הוא ביטוי מהצורה

ה- המקסימלי שעבורו נקרא מעלת הפולינום
למקדם כאשר קוראים המקדם המוביל. למקדם קוראים המקדם החופשי
אם המקדם המוביל=1, אז הפולינום נקרא פולינום מתוקן
גם פולינום האפס הוא פולינום
באותה מידה פולינום מעל שדה ייכתב כ

שוויון פולינום

מאותה מעלה וכל המקדמים שווים

חיבור וחיסור פולינומים

חיבור איבר איבר, רגיל לחלוטין למשל:

דוגמה נוספת מעל המרוכבים:

בנוסף, מתקיים

כמובן לא נכון לפולינום ה-

כפל פולינומים

לפי חוק הפילוג, למשל

בנוסף, מתקיים

חילוק (עם שארית)

אם פולינומים, אז קיימים (ויחידים) פולינומים כך ש (או ) כך שמתקיים:

הגדרה

נאמר כי מחלק את אם שארית החלוק של ב היא , נסמן

טענה על חילוק

יהא פולינומים ממשי, תהא . אז שארית החלוקה של בפולינום היא

הוכחה

לפי משפט החלוקה, ניתן לכתוב:

ומתקיים או כלומר שמעלתו 0 (מה שאומר ש קבוע)
נציב בנוסחה שכתבנו

שורשים

יהא פולינום מאז , יקרא שורש של אם
חשוב כאן מאוד המשפט היסודי של האלגברה, שאמנם כתוב על שדה המספרים המרוכבים אבל אפשר לעבוד איתו גם עם פולינום מעל שדה המספרים הממשיים ובמצב הזה יש להתעלם מהמקדמים המרוכבים

טריקים למציאת שורשים

1. אם המקדם החופשי הוא 0, אז 0 שורש.
2. אם סכום המקדמים של הפולינום שווה ל0 אז 1 שורש.
3. אם סכום מקדמי החזקות הזוגיות שווה לסכום מקדמי החזקות האי-זוגיות, אז שורש.
4. שורש של מריבוי שורש של
5. מבחן השורש הרציונלי: יהא פולינום עם מקדמים שלמים. אם ל יש שורש רציונלי אז ו

משפט שורש צמוד

יהא פולינום במקדמים ממשיים. אם שורש של אז גם שורש של . לא עוזר יותר מדי אם ממשי

הוכחה

נרשום

מסקנה

לכל פולינום ממשי ממעלה אי-זוגית יש שורש ממשי, הסיבה לכך היא שלפי המשפט, שורשים מרוכבים באים בזוגות.