נראה כי מימד אוסף המטריצות הממשיות האנטי-סימטריות () הוא , נסיק כי כל קבוצה מגודל > 3 היא ת”ל.
תזכורת למשפט
בסיס ל כל ניתן לכתוב באופן יחיד כצירוף לינארי של איברי .
תרגיל
א. יהא שדה סופי, יהא תת-שדה. הראו כי מרחב וקטורי מעל ממימד סופי ביחס לחיבור וכפל בסקלאר ב.
ב. יהא שדה סופי. הסיקו כי הגודל של הוא חזקה של מספר ראשוני כלשהו
פתרון
א. כבר ידוע כי מרחב וקטורי מעל . שדה ממימד סופי הוא נוצר סופית (כלומר, יש קבוצה סופית שיוצרת אותו), ולכן ממימד סופי, מכיוון ש תת קבוצה של גם הוא ממימד סופי (הסבר נוראי)
ב. בעבר (תרגול 4) ראינו כי תת-שדה של שגודלו ראשוני. נתבונן ב כמרחב וקטורי מעל . זהו מרחב וקטורי ממימד סופי . ניקח בסיס למרחב זה .
מהמשפט (זה שכרגע הזכרנו), כל ניתן לרשום באופן יחיד כצירוף לינארי
מכאן שמספר איברי = מספר הדרכים לבחור את המקדמים . לכל יש אפשרויות, ועושים בחירות. סה”כ
תרגיל
יהא מרחב וקטורי ממימד . הראו כי קיימים תת מרחבים וקטורים
כך ש
פתרון
יהא בסיס ל
נגדיר
נראה כי כל ניתן לכתוב באופן יחיד כסכום כש וזה מה שצריך להוכיח
יהא , ניתן לרשום באופן יחיד
מתקיים לכל , בנוסף, כתיבה זו היא יחידה
אוף נו
להשלים למה זו הדרך היחידה
תרגיל בית
יהא מרחב וקטורי ממימד , תת מרחב ממימד , הוכיחו כי קיים ממימד כך ש (רמז, בסיסים)
בבית
זה תרגיל בית, תעשה אותו. בבית
משפט המימדים (הראשון)
יהיו תת-מרחבים של ממימד סופי. אזי
(למדנו את זה בהרצאה, אבל גם ככה לא לגמרי הבנתי)
תרגיל
יהיו ו תתי מרחב (קל להוכיח ש תת מרחב) של
מצאו בסיס + מימד ל
פתרון
ולכן
ולכן והבסיס a
זה אומר ש והבסיס הוא
לגבי , נשתמש במשפט המימדים ונראה כי
נסיק כי
נקבל שאפשר את הבסיס הסטנדרטי של
תרגיל
יהיו
מצאו בסיס + מימד ל
האם
פתרון
נשים לב ש זה פשוט המטריצות האנטי-סימטריות של , מתרגיל קודם בתרגול הזה ידוע לנו כי
, נעבור ל
ממשפט המימדים
מסקנה
תרגיל
הוכיחו/הפרכות את משפט המימדים לשלושה תתי-מרחבים
פתרון
לא נכון!
כל החיתוכים הם פשוט מימד 0
נשים בנוסחה
תרגיל
יהא מצאו תתי-מרחבים וקטורים מאותו מימד כך ש וגם
פתרון
אין כאלה. נניח בשלילה שיש כאלה.
נסמן
ממשפט המימדים
מימד יכול להיות מספר שלם בלבד, סתירה
טיזר לתרגול 15, וקטורי קואורדינטות
תזכורת
יהא מרחב וקטורי מעל עם בסיס סדור
ידוע כי כל ניתן לכתוב באופן יחיד כצירוף לינארי של איברי הבסיס, כלומר
נגדיר את וקטור הקואורדינטות של ביחס לבסיס בדרך הבאה
דוגמאות
, הבסיס הסטנדרטי:
למשל ולכן
, (הבסיס הסטנדרטי של מרחב פולינומים)
תרגיל
יהא מרחב וקטורי מעל עם הבסיס הסדור
מצאו קואורדינטות לווקטורים הבאים
פתרון
נתחיל עם , מתקיים
נעבור ל, נרצה לרשום אותו כצירוף לינארי של איברי הבסיס