מרחב וקטורי

הגדרה

נקרא מרחב וקטורי (מ”ו בקיצור) מעל שדה אם לכל . מתקיימים התכונות הבאות:

להשלים

סיכומים שמירה שלחה לי

תכונות חיבור

1. אם (סגירות לחיבור)
2. קיים וקטור המקיים לכל
3. קיבוץ (אסוציאטיביות)
4. חילוף (קומוטטיביות)
5. לכל וקטור יש נגדי . כך ש- ( הכוונה כמובן ל)
   חמש התכונות האלה מראות שהמרחב הוקטורי הוא חבורה אבלית ביחס ל

תכונות כפל עם סקלאר

6. אם ו אזי (סגירות לכפל בסקלאר)
7. (חשוב לציין ש זה המספר ולא איזה איבר יחידה) לכל
8. פילוג כפל סקלאר על חיבור וקטורים
9. פילוג
10. פילוג

סימונים

וקטורים נסמן באמצעות האלפבית האנגלי עם אותיות קטנות, סקלארים באמצעות האלפבית היווני, מרחבים וקטורים באמצעות האלפבית האנגלי עם אותיות גדולות

משפטים

דוגמאות

2. אוסף כל המטריצות עם שורות ו עמודות
3. פולינומים מעל שדה

משפט על וקטור ה

יהי מרחב וקטורים מעל , אזי

1. לכל
2. לכל
3. או

הוכחה

3. אם אז טריוויאלי (לפי ההוכחה של 2). אם אזי קיים כך ש

יש לשים לב שסוף ההוכחה משתמש במה שהוכחנו בסעיף 2.

דוגמה מעל

תת-מרחב וקטורי

תהי של (שאינה ריקה). תיקרא תת-מרחב וקטורי של אם איבריו מקיימים את עשר תכונות של מרחב וקטורי

הגדרה שקולה

יקרא תת-מרחב וקטורי (ת”מ בקיצור) אם מרחב וקטורי ביחס לאותן פעולות על .

דוגמאות

1. כולו הוא ת”מ של
2. מתקיים בצורה מבאסת
3. תת-מרחב וקטורי של
4. תת-מרחב וקטורי של

חשוב לזכור

5. כלומר לא תת מרחב של

6. אינו תת מרחב, כי אין סגירות לכפל בסקלאר

7. מאפיין מישור ובכך תת מרחב

8. פתרונות של מערכת משוואות לינארית מעל תת מרחב של .

9. פולינומים ממעלה , מסומן גם (גם לא חשוב מדי), תת מרחב של

משפט על תת-מרחב וקטורי

הוא תת מרחב של אם ורק אם סגור לחיבור וכפל בסקלאר

הוכחה

טריוויאלי
. נניח ש סגור לחיבור ולכפל בסקלאר.
הסגירות לכפל בסקלאר גורר ש מתקיים וזה שווה ל. כלומר (תכונה 4)
בנוסף, סגירות לכפל סקלאר גורר כלומר לכל איבר יש נגדי (תכונה 5)
כל שאר התכונות נובעות ישירות מכך ש תת קבוצה של

דוגמה

אוסף הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית הוא תת-מרחב של

הוכחה

ראינו פעם קודמת ש
נגדיר
יהי וגם לכן
מכאן נובע ש. הראינו סגירות לחיבור (הגרירה האחרונה מתרחשת כי)
עכשיו נראה סגירות לכפל בסקלאר, צריך להראות שאם ו אז
יודעים ש לכן ולכן מה שאומר ש