הרצאה 4

איחודים וחיתוכים כללי

הגדרה

יהי אוסף של קבוצות. מגדיר את האיחוד הכללי על

בצורה דומה נגדיר חיתוך כללי

באופן דומה ניתן להגדיר איחוד וחיתוך כללי כך:
תהי קבוצה, (תקרא קבוצת האינדקסים). ואז נוכל לכתוב את בתור ונגדיר כך את החיתוך והאיחוד:

דוגמאות

• אם ו אז:

ניכר כי במקרה ש קבוצה סופית, ההגדרה מתלכדת עם מה שהכרנו

• אם (נשים לב ש לא סופית). לכל נגדיר

הוכחה

נראה הכלה דו-כיוונית
איחוד:
נתחיל עם
יהי
אז קיים עבורו
נעבור ל, יהי
נראה כמה אפשרויות להוכחה
אפשרות 1 - לחלק למקרים: , ,
אפשרות 2:

(אפשר להראות לפי הגדרת קטעים ע”י הכלה דו כיוונית)
חיתוך:
נניח בשלילה ש
יהי , לכל מתקיים בפרט (ניתן גם לכתוב ). ולכן ו
כלומר וגם . סתירה

שיטה חשובה

לרוב כאשר נתעסק עם הקבוצה הריקה, נרצה להוכיח בשלילה.

עוד דרך להוכיח

כאן ספציפית, ניתן להוכיח בכך שנראה ש זרה ל ולכן החיתוך שלהן ריק

תרגיל

תהי ולכל נגדיר:

הוכיחו:

הגדרה

תהי קבוצת אינדקסים ותהי קבוצה כשלהי. נאמר על האוסף שהוא:

1. מכסה את אם
2. זר בזוגות, אם לכל .

דוגמה

האוסף מהתרגיל זר בזוגות ומכסה את

שאלה

בדוגמה השנייה, האוסף כיסה את ולא זר בזוגות

זוג סדור

הגדרה

זוג מהצורה נקרא זוג סדור

משמעות "סדור"

הכוונה היא שיש חשיבות לסדר
למשל לעומת

סימון

אותו סימון כמו קטע פתוח, אבל זה לא קטע פתוח. לפעמים יסומן גם

מכפלה קרטזית

הגדרה

תהיינה קבוצות. המכפלה הקרטזית של ו, היא הקבוצה

דוגמה

נשים לב ש לא נמצא ב

דוגמה אחרת

ניתן לכתוב כ

הערה

אם סופית אז

-יה קרטזית

היא רשימה מסודרת/סדורה של איברים.

הגדרה

אם קבוצות, אז המכפלה הקרטזית ה-ית מוגדרת:

הערה

כך ניתן לתאר מרחב וקטורי

הערה

גם כאן, אם לכל מתקיים ש קבוצה סופית אז:

סימון

עבור קבוצה , נסמן ב את המכפלה הקרטזית ה-ית שלה עם עצמה.

דוגמה

אז . זו קבוצת כל הרצפים עם או באורך . הגודל של הקבוצה יהיה

קבוצת החזקה

הגדרה: קבוצת החזקה של קבוצה היא אוסף כל התת-קבוצות של ומסומנת , כלומר:

כש הוא אוסף כל הקבוצות

שייכות לקבוצת החזקה

הערה

תהי קבוצה סופית.
נסמן
נדע כי
זה מכיוון שבשביל לבחור תת קבוצה, אפשר לעבור איבר-איבר ב. ולבחור אם נכנס לקבוצה או לא נכנס לקבוצה . לכל יש אפשרויות וצריך לקחת בחשבון את כל האיברים ב