משוואה לינארית

הגדרה

משוואה של n משתנים, כשכולם ממעלה ראשונה וn מקדמים

דוגמאות

(משוואת ישר במישור)
(משוואת מישור במרחב)
דוגמה למערכת משוואות לא לינאריות

וקטור פתרון

נקרא וקטור פתרון אם כאשר מציבים במשוואה מקבלים שוויון

דוגמה

הוא וקטור פתרון של המשוואה

וכך גם

דוגמאות למערכת משוואות לינאריות

מערכת של 2 משוואות ב-2 נעלמים
עוד דוגמה

נוכל לכתוב את המערכת גם כך

בצורה יותר כללית, אפשר לכתוב מערכת משוואות לינארית של משוואות ב נעלמים בעזרת מטריצות באופן הבא:

נהוג לכתוב גם:

כש זו מטריצה של המקדמים, זה הוקטור של המשתנים ו זה הוקטור של המקדמים החופשיים

הערה

אם כל ה הם אז המערכת נקראת מערכת הומוגנית

דירוג מטריצות

מטריצה מדורגת

1. כל שורות האפסים נמצאות בתחתית
2. המקדם המוביל בכל שורה נמצא מימין לכל מקדם מוביל בשורות מעליו

מטריצה מדורגת קנונית (מכונה גם מצומצמת)

1. מדורגת
2. כל מקדם מוביל = 1 (האדיש הכפלי של השדה), והוא המקדם היחידי שאינו 0 בעמודה שלו

פעולות דירוג

1. החלפת שורה ,
2. כפל שורה בסקלאר
3. הוספת כפולה בסקלאר של שורה לשורה

שקילות שורה

שתי מטריצות, (מאותו גודל) יקראו שקולות שורה אם ניתן להגיע מ ל על ידי סדרת פעולות דירוג.

משפט שקילות שורה

כל מטריצה שקולת שורה למטריצה מדורגת, ושקולת שורה למטריצה קנונית יחידה.

דרגה של מטריצה

תהי מטריצה. מספר השורות השונות מ בצורה הקנונית של נקרא הדרגה (Rank) של ומסומן או
ראינו שאפשר להציג מערכת משוואות לינאריות עי
ו

משפט

תהי מטריצה מערכת של משוואות ב נעלמים. אזי

1. למערכת יש פתרון יחיד אמ”מ
2. אם אזי למערכת אין פתרון
3. אם מתקיים אזי יש ריבוי, כשמספר דרגות החופש הוא

מערכת הומוגנית

מערכת נקרא הומוגנית
הערה:

הוא פתרון, נקרא הפתרון הטריוויאלי

דוגמה

טענה

אם למערכת הומוגנית (מעל שדה אינסופי) יש פתרון שונה מאפס אז יש לה אינסוף פתרונות

טענה שקולה

אם הם שני פתרונות למשוואה כלומר וגם אז לכל מתקיים ש הוא פתרון

הוכחה

צריך להוכיח

משפט

אם הוא פתרון פרטי של אזי הפתרון הכללי של שווה ל

משפט

1. אם יש אינסוף פתרונות אז גם ל יש אינסוף פתרונות
2. אם ל יש פתרון יחיד, אז גם למשוואה יש פתרון יחיד (הפתרון הטריוויאלי)

משפט

אם הוא פתרון פרטי של אזי

הוכחה

צריך להראות 2 דברים:

1. אם הוא פתרון כלשהו של המשוואה ההומוכנית אז צריך להראות ש הוא פתרון של , ואכן:
2. אם הוא פתרון של אזי קיים פתרון של כך ש. נגדיר .

מסקנה

אם ידוע פתרון כללי של אז אפשר למצוא את הפתרון הכללי של ההומוגני

משפט

תהי ריבועית מעל שדה , אז

הוכחה

נוכיח . מיידי מההגדרה של , אם שקולה ל אז
נוכיח . אם אז ישנה מטריצה קנונית עבור . נקרא לה
אין ב שורת אפסים (כי דרגתה מלאה). לכן לא ייתכנו יותר מ אפסים משמאל לאיבר מוביל וכן מספר האפסים משמאל לאיבר מוביל, גדל בדיוק באחד משורה לשורה, ונובע שהאיברים המובילים הם איברי האלכסון הראשי, והם כולם . מכןא נובע כי

משפט

תהי ריבועית מעל שדה . אזי אם ורק אם לכל יש פתרון

הוכחה

טריוויאלי

טענה

נובע כי
אם אזי