תרגיל
הוכיחו כי לכי
פתרון
נראה כי
יהא
תרגיל
יהיו
נתון כי
הוכיחו כי קיימים
פתרון
נשים לב שהוקטורים
איכשהו רוצים שנראה כי
כי כל איבר במרחב דו מימדי ניתן לרשום באופן יחיד כצירוף לינארי של שני איברי בסיס, אז יש
ממשפט המימדים
משפט שלמדנו
מימד מרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית הוא מספר דרגות החופש
לפי זה נראה ש
סה”כ
עוברים למטריצות הפיכות
תרגיל
תהא
הוכיחו כי
פתרון
הרעיון הוא לראות ש
טאדא
תרגיל
יהיו
פתרון
קראנו ל
תרגיל
תהא
הראו כי
פתרון
מצאנו מטריצה, שכאשר מכפילים אותה ב
על כן המטריצה הזו היא
מסקנה מעניינת ומשונה, לא יותר מדי רלוונטי כרגע
טענה מהכיתה
כלומר קיימות
בתכלס,
הוספנו את מטריצת היחידה מימין כדי שיהיה לנו משהו לעבוד איתו (יותר נכון, לעבוד עליו)
תרגיל
חשבו הופכית ל
פתרון
נדרג של הביוקר
ולכן
תרגיל
פתרו את מערכת המשוואות הלינארית
פתרון
וזה כי
תרגיל
א.
כתבו את המטריצה הבאה כמכפלת מטריצות אלמנטריות
ב.
חשבו את
פתרון
א.
נדרג
נכתוב עכשיו את הדירוג הנ”ל ככפולת מטריצות אלמנטריות
חשובבבב
שימו לב!!!
את כפל המטריצות כותבים בסדר ההפוך מסדר הדירוג, כלומר הדירוג הראשון נמצא הכי מימין
עכשיו נכפול את הכל (משמאל) בהופכי של המטריצות האלמנטריות (הפעולות ההפוכות לפעולות שהן מייצגות)
שימו לב
הסדר הוא הפוך, כלומר הסדר המקורי
וואי וואי הרבה דברים חשובים
ההופכי של מכפלת מטריצות היא מכפלת ההופכיות שלהן בסדר הפוך, ראינו את זה בכאן (זה קישור, תלחצו)
משפט השקולים
משפט השקולים
תהא
. הבאים שקולים Link to original
הפיכה משמאל הפיכה מימין הפיכה - עמודות
פורשות את - שורות
פורשות את - עמודות
בת”ל - שורות
בת”ל - עמודות
בסיס - שורות
בסיס - לממ”ל ההומוגנית
יש רק את הפתרון הטריוויאלי - לממ”ל
יש פיתרון יחיד לכל שקולת שורה למטריצת היחידה מכפלת מטריצות אלמנטריות - קיים פולינום
עם מקדם חופשי שונה מ- כך ש שווה למטריצת ה- .
תרגול
מצאו עבור אילו ערכי
פתרון
מדרגים מדרגים מדרגים (אפילו לא לאנונית, מה תעשו לי)
ערכי
מתאפסת שורה
ולכן
תרגיל
הוכיחו הפריכו ושיט
א
אם
ב
אם
ג
אם
ד
אם
ה
תהא
ו
אם
פתרון
א
לא נכון. למשל
בתכלס פשוט צריך למצוא שתיים שהחיבור שלהן יצור שורות תלויות לינארית
ב
לא נכון
נראה כי
יש כאן gotcha חשוב, הידיעה ש
ג
נכון, דא
נראה כי
נקרא לסדר של
כלומר המינימום של הדרגות שלהן קטן-שווה ל
הדרגה של שתיהן שווה ל
מכיוון ששתיהן הפיכות,
ד
נכון
אבללל
הדרגה של
ה
נכון!
נגדיר
כלומר מטריצה שכל עמודה שלה היא הוקטור
בנוסף
ו
נכון
ניקח קומבינציה לינארית שמתאפסת
צ”ל
נוציא את
נכפיל משמאל ב
אבל