מטריצה הפיכה

הגדרה

מטריצה ריבועית נקראת הפיכה אם קיימת מטריצה ריבועית כך ש-

סימון

את המטריצה ההופכית נסמן

דוגמה

תהא , אז
נבדוק ונראה

עוד דוגמה

למטריצה אין הופכי. נראה

וזה לא אפשרי, תבינו לבד למה (:

משפט

אם ו שתיהן הפיכות אז הפיכה ומתקיים
א.

ב.

הוכחה

א.
צריך להראות:

באמצעות טרנזיטיביות של כפל מטריצות נקבל

ב.
צריך להראות:

באמצעות המשפט נראה ש

משפט

תהי מטריצה ריבועית. אזי התנאים הבאים שקולים:
א. הפיכה
ב.
ג. לכל למערכת יש פתרון יחיד
ד. שקולת שורה ל-
ה. היא מכפלת מטריצות אלמנטריות

הוכחה

נוכיח רק חלק מהם כי יש כאלה שכבר ידועים לנו
(1 זה א ו3 זה ג, גימטריה ושיט כזה)
נתון הפיכה: ויהי
נציב במשוואה
ראשית, נראה שזה אכן פתרון (כלומר נוכיח שקיים פתרון למערכת)

לכן הוא פתרון, עכשיו צריך להראות שהוא היחיד
נניח שקיים עוד פתרון, כך ש, צריך להראות ש
נכפיל משמאל את שני הצדדים ב.

נסתכל על הצד הימני של המשוואה

עכשיו על הצד השמאלי של המשוואה

כלומר , אז הוא פתרון יחיד.

נוכיח גם את
אם לכל יש פתרון יחיד אז , אז בפרט קיימים פתרון למשוואות:

נכתוב

ונבדוק

הרעיון של מציאת מטריצה הופכית

מכיוון שאם הפיכה, היא שקולת שורה ל, נסתכל על הדירוג

אלגוריתם למציאת מטריצה הופכית

בנוסף, אם היינו מנסים להפעיל את אלגוריתם זה על מטריצה כלשהי ולא מצליחים להגיע למצב שבו המטריצה הקנונית שלו היא מטריצת היחידה, אזי המטריצה אינה הפיכה

מסקנה

שקולות שורה אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה כך ש (איכשהו)

מסקנה

הפיכה אם ורק אם לכל מטריצה (שניתן להכפיל משמאל ב) מתקיים

משפט

כך ש. אזי:
א.
ב.
ג. יחידה, כלומר (אם גם אזי )

הוכחה

נראה שסעיף ב’ נכון (את סעיף א’ כבר הראינו)
שקולת שורה ל-.
קיימות מטריצות אלמנטריות כך ש-

נסמן
הראנו ש, עכשיו נראה ש

כעת נראה את סעיף ג’
אם כך ש, מ(ב) נובע שגם ולכן לפי , יחידה.