הרצאה 14

בפרקים הקודמים באלגברה א’

משפט

יהיו תת-מרחב וקטורי
אזי

הוכחה

יהי בסיס של
השלמה לבסיס :
השלמה לבסיס :
נראה ש בסיס של
בפעם הקודמת הראנו ש פורשת את , עכשיו נראה ש בת”ל

יהיו
כך ש

נעביר אגפים

נקרא לביטוי הנ”ל
נשים לב שהאגף הימני שייך ל והצד השמאלי שייך ל

קיימים כך ש

אבל
בסיס של ולכן בת”ל. זה אומר ש

לכן נציב ב לכל
זה אומר

הביטוי הזה הוא בסיס של ולכן בת”ל
ולכן

דוגמה

נמצא מימד ובסיס ל
בהרצאה הקודמת מסתבר שהראינו שהמימד של והבסיס שלו

נסתכל על :
ראשית נראה את הבסיס

ולכן לא הבנתי מה קורה פה למה אני פה אני חייב עזרה

נבדוק את המימד של

זה אומר ש
לכן לפי המשפט,

אבל לכן לכן
זה אומר ש

ואיכשהו זה אומר ש
לא ברור מה קרה פה כרגע או למה

תזכורת

מרחב השורות = המרחב שמתקבל על ידי פריסת השורות, יעני
מאותו סדר שקולות שורה

שקולות שורה שורות של בלתי תלויות לינארית שורות של בלתי תלויות לינארית

שורות שונות ל של מטריצה מדורגת הן בלתי תלויות

ואז היה פה ויכוח לא ברור שאין לי מושג מה קורה בו

משפט

מנוסח לעיתים בספרים מסוימים בתור

הוכחה

תהי מטריצה. נדרג ונקבל את , ב יש שורות שונות מאפס.
השורות האלה הן בלתי תלויות (ראה תזכורת )
בנוסף, השורות פורשות את
על פי ,
לכן אותן שורות פורשות את
הן גם בת”ל לכן מהוות בסיס ל וזה גורר ש

דוגמה

בסיס של

תזכורת

אוסף כל הצירופים הלינארים של עמודות = מרחב העמודות של מטריצה =
מספר העמודות השונות מ במטריצה מדורגת שקולת שורה ל

משפט

הוכחה

תהי מטריצה מדרגה . כן קיימים וקטורי שורות

המהווים בסיס של
בפרט, כל שורה של ניתנת לכתיבה כצירוף לינארי של
נסמן ע”י את השורות של
קיימים מקדמים כך ש

על פי זה נסמן

נסתכל על העמודות של

ובאותה מידה

מכאן איכשהו מתקבל

אבל גם

ולכן

וזה אומר ש

מסקנה

מימד מרחב השורות = מימד מרחב העמודות

הוכחת מסקנה

דוגמה

אין כוח לדרג
אבל אפשר לראות שהעמודות שלהן בלתי תלויות ולכן

מסקנה

הוכחת המסקנה

יודעים או נדע מהתרגיל

1. שורות של הן צירוף לינארי של שורות
2. עמודות של הן צירוף לינארי של עמודות
   מ-(1) מתקבל
   מ-(2) מתקבל