תרגול 13

בסיס ומימד

תרגיל

מצאו בסיס ומימד למרחב המטריצות ב שמתחלפות בכפל עם

פתרון

תהא אזי

כל היא מצורה זו. בנוסף כל מצורה זו מתחלפת עם הנתונה.
מסקנה

קבוצה פורשת ל היא בת”ל (שני וקטורים לא פרופורציונליים (((מה זה אומר)))) ולכן בסיס
הגדול של הוא 2 ולכן

משפט

בשביל שקבוצה תהווה בסיס ל מספיקים שניים משלושת התנאים הבאים:
א. בת”ל
ב. פורשת את
ג.

תרגיל

מצאו לאילו ערכי הקבוצה הבאה בסיס ל

פתרון

הגודל של הוא , זה גם המימד של
מהמשפט, צריך לבדוק מתי בת”ל

בסיס בת”ל לא התאפסה שורה

תרגיל

הוכיחו כי אם בסיס ל א גם בסיס ל.

פתרון

מהנתון, , לכן מספיק לבדוק שהקבוצה הבאה פורשת
ניצור מטריצה שבה העמודה הראשונה ,השנייה , והשלישית
השורה הראשונה תהיה , השנייה והשלישית

מסקנה

תרגיל

הוכיחו כי אם תמ”ו

פתרון

יהא בסיס ל-. בת”ל, בנוסף על פי ההגדרה של הבסיס. מהנתון

אז כי ובת”ל מגודל ולכן בסיס
מסקנה

תרגיל

נכון או לא נכון
יהא מרחב וקטורי עם בסיס . יהא תמ”ו
אז ניתן לבחור תת קבוצה של שתהווה בסיס ל

פתרון

לא נכון
ניקח כדוגמה נגדית עם בסיס
נבחר , לכן לא בסיס של

טענה

תהא קבוצה בלתי תלויה לינארית, אז ניתן להשלים את לבסיס של .

תרגיל

יהא
מצאו בסיס ומימד ל
השלימו את לבסיס ל

פתרון

נתונה קבוצה פורשת, נהפוך אותה לבסיס ע”י דירוג והוצאת השורות השוות לאפס

ולכן

לכן המימד הוא
אם נוסיף שני וקטורים לקב’ כך שתישאר בת”ל, נקבל קבוצה בת”ל בגודל ועל כן בסיס

מאיפה הגיע הניחוש המגניב של אור

הרעיון היה להוסיף וקטורים שהאיבר המוביל שלהם ממשיך לעלות, על מנת שהמטריצה תישאר מדורגת

קבוצה זו בת”ל כי כששמים במטריצה מקבלים מטריצה מדורגת ללא שורות אפסים.

התרגול של יום שלישי

משפט

יהא מרחב וקטורי ממימד סופי.
בסיס ל קבוצה פורשת מינימלית קבוצה בת”ל מקסימלית

פורשת מינימלית

הכוונה היא קבוצה שלא משנה איזה וקטור נוציא ממנה היא כבר לא תהיה קבוצה פורשת

בת"ל מקסימלית

הכוונה היא קבוצה שלא משנה איזה וקטור נוסיף לה, היא כבר לא תהיה בת”ל

תרגיל

הוכיחו/הפריכו
א. יהא מרחב וקטורי ממימד . אזי ת”ל
ב. יהא תת-מרחב וקטורי, אזי

פתרון

א. נכון! נוכיח
נניח בשלילה כי בת”ל. נתבונן בקבוצה הבאה: , בנוסף בת”ל כתת-קבוצה של קבוצה בת”ל. כתת קבוצה בת”ל שגודלה המימד של המרחב, בסיס. ולכן היא בת”ל מקסימלית. זו סתירה לכך ש בת”ל, כי אם מקסימלית, כל וקטור שנוסיף אליה יהפוך אותה לת”ל
ב. נכון!
בסיס ל קבוצה בת”ל ב. אבל לא בהכרח בת”ל מקסימלית ב, ולכן גדול או שווה לגודל הקבוצה הבת”ל המקסימלית של .