תרגול 4

תרגיל

יהא שדה עם פעולות תהא תת קבוצה המקיימת:
א. מכילה איבר שונה מ-0
ב. סגורה לחיבור וכפל.
ג. לכל מתקיים, ולכל מתקיים
הוכיחו כי שדה ביחס ל נאמר כי תת-שדה של

פתרון

נבדוק את האקסיומות

• סגירות לפעולות: נכון מנתון ב’
• קומוטטיביות: מתקיים אוטומטית כי
  יהיו , צ”ל
  כיוון ש מתקיים וכיוון ש שדה. (בפרט קומוטטיבי) מתקיים כנדרש
• אסוציאטיבי - מתקיים אוטומטית כי
• דיסט’ - אותו הסבר
• קיום אדיש חיבורי:
  נתון כי כקיים כלשהו. מנתון ג’ ידוע כי , מנתון ב מתקיים ש (סגירות לחיבור). לפי התכונות של השדה אפשר לדעת שאותו מספר הוא (האדיש החיבורי של )
  מכאן שהאדיש החיבורי של , גם הוא ב . כיוון ש הוא מתפקד כאדיש חיבור גם ב
• אדיש כפלי: נתון כי קיים ולכן לפי נתון ג’ . מסגירות לכפל . 1 הוא האדיש הכפלי של ומתקיים (כי שדה ושם זה מתקיים)
• קיום נגדי קיום הופכי. לכל מתקיים בגלל נתון ג’

תרגיל (מפחיד)

יהא שדה סופי עם פעולות
נגדיר:

א. הוכיחו כי
ב. הוכיחו כי סגורה לחיבור ולנגדיים
ג. הוכיחו כי סגורה לכפל והופכיים.
ד. הוכיחו כי הגודל של הוא מספר טבעי ראשוני.

פתרון

א. כיוון ש (כי סגור לחיבור), נסיק כי קבוצה סופית.
נסמן בתור
מסקנה, קיימים שונים כך ש
בה”כ,
לכן

נסמן את המספר המינימלי שמקיים
לכל מתקיים
ב. סגירות לחיבור. יהיו , צ”ל

סגירות לנגדיים
יהא , צ”ל .

נגדיר
נבחר כך ש
נסמן

ג. סגירות לכפל, יהיו

קיום הופכי
יהא . צ”ל
נתבונן ברשימת החזקות של

כיוון שקבוצה זו סופית, קיימים שונים כך שבלי הגבלת כלליות

כיוון שבשדה אין מחלקי , נסיק כי

לכן אם נכפיל

כלומר
כיוון ש סגורה לכפל

על פי א ב. וג., תת שדה של
ד. נניח בשלילה כי לא ראשוני. כלומר
נזכור כי
כלומר

כלומר או ש או ש
סתירה

תרגיל (קטן)

פתרו את המשוואה הבאה ב

פתרון

דרך ראשונה

דרך שנייה

עכשיו נעביר את זה ל

תרגיל

מצאו את ההספרה האחרונה של

פתרון

נרצה לחשב

תרגיל

הוכיחו כי למשוואה הבאה אין פתרון מעל

רמז

mod 4

פתרון

נתבונן במשוואה הנתונה תחת mod 4
למה: אם אז
אם

חזרה לתרגיל
נפעיל mod 4 על שני האגפים, ע”פ הלמה אגף שמאל יקיים

מצד שני, אגף ימין mod 4 זה 3
קיבלנו סתירה אין פתרון

תרגיל

הוכיחו כי מתחלק ב11 לכל

פתרון

נראה כי המשוואה שווה ל0 תחת mod 11
נפעיל על שני החלקים

איזי