העתקה לינארית
הגדרה
יהיו
שני מרחבים וקטורים מעל אותו שדה .
פונקציהתקרא העתקה לינארית או טרנספורמציה לינארית אם מתקיימים שני תנאים
א. לכל שני וקטוריםמתקיים
ב. לכל סקלארולכל מתקיים ציור מגניב
דוגמאות
דוגמה ראשונה
נגדירכך:
לכלזו העתקה לינארית מכיוון שלכל
להשלים
אותו דבר לגבי כפל בסקלאר
דוגמה שנייה
מוגדרת על ידי
זו אכן העתקה לינארית מכיוון שלכל
, דוגמה שלישית - העתקת האפס
לכל
עוד מעט נראה מה זה
ומה זה דוגמה רביעית
נניח
וניקחלכל דוגמה חמישית
זו הטלה על מישור
, לא הבנתי לגמרי
ונבדוק את סעיף ו של המשפט שיש בהמשך הסיכוםמשפט
אם
העתקה לינארית אז
א.(נשים לב שהאפס בתוך הפונקציה הוא וקטור האפס ב , בעוד שהאפס בצד הימני של המשוואה הוא וקטור האפס של )
ב.לכל הוכחה
הכל נובע מהתכונה של כפל בסקלר
א.
אפשר לראות אם לוקחים
ב.
אפשר לראות אם לוקחיםציור מרגש מאת ג. גור
משפט
העתקה לינארית. אזי:
א.הוא תת מרחב של
ב.הוא תת מרחב של
ג.היא חח”ע
ד.היא על
ה. אםפורשים את אזי פורשים את
ו.הוכחה
א. ראינו ש
נראה סגירות לחיבור
, צריך להראות ש עכשיו סגירות לכפל בסקלאר
ב.
כמו בסעיף א,
סגירות לחיבורסגירות לכפל בסקלאר
ג.
ראשית נוכיח
נניח ש-חד-חד ערכית. יהא , לכן
מכיוון שחח”ע. ולכן
עכשיו
נניח.
יהיוכך ש
נעביר אגפים ונעשה שטויותולכן
חח”ע ד.
בביתאמרתי בבית
אם אתה קורא את זה, אתה בבית. תשלים
ה.
יהי
, כלומר קיים כך ש
קבוצה פורשת. לכן קיימים כך ש לכן
היה שרירותי ולכן פורשים את ו.
נגדיר,
צריך להוכיח שיהי
בסיס של . נשלים אותו לבסיס של , ונסמן אותו
מסעיף ה. נובע כי
פורשת את
נוריד אפסים מיותרים ונקבל שפורשת את יהיו
כך ש
צריך להוכיח
מתכונות העתקה לינאריתנזכור ש
בסיס של . לכן, קיימים כך ש אבל
בת”ל (בסיס של ) ולכן
בפרט:זה גורר ש
Link to originalבסיס של ומפה נובע שהמימד של הוא
שאלה
האם זו העתקה לינארית?
תשובה
לא העתקה לינארית.
כפל בסקלאר לא מתאים