קבוצות של מספרים
קבוצות מספרים
טבעים
NOTE
בשיעורי אלגברה א’ 0 לא נמצא במספרים הטבעיים
איך מגדירים מבנה אבסטרקטי באלגברה
מסתכלים על דוגמה פשוטה כמו
ל
- יש איבר 0 שמקיים:
- לכל איבר יש נגיד.
נגדיר
חבורה
הגדרה
חבורה היא קבוצה
עם פעולה
שמקיימת את האקסיומות הבאות:
- סגירות:
מתקיים שגם הפעולה - אסוציאטיבי:
לכל - קיים איבר יחידה:
כך ש לכל - לכל
יש איבר כך ש- נקרא ל האיבר הנגדי או ההופכי דוגמה
נסמן את זה ש
היא חבורה עם פעולה החיבור כ כש
זה 0 והנגדי חבורה אבלית
חבורה שמקיימת
Link to original, נקראת קומוטטיבית או חבורה אבלית. למשל .
מספרים רציונליים
הגדרה
תכונות:
Link to original
- סגירות לחיבור/כפל/חיסור/חילוק
שנשים לב ש
נגדיר
שדה
הגדרה
קבוצה
עם 2 פעולות, נקראת שדה אם מתקיימות האקסיומות הבאות: סגירות
וגם
אסוציאטיביות
וגם
איבר יחידה
קיים
כך ש לכל
וגם
קיים איברכך שכל הופכי/נגדי
לכל
קיים כך ש הנקרא נגדי
וגם
לכלקיים כך ש הנקרא הופכי חילופיות/קומוטטיביות
לכל
מתקיים
וגם
לכלמתקיים פילוג/דיסטריבוטיביות
מתקיים
NOTE
נניח
, ולכן שדה צריך לפחות שני איברים תכונות
Link to original
ונדגים
שדות (
בסוף מה שאנחנו עושים באלגברה זה
דוגמא ⇒ הגדרה אבסטרקטית ⇒ משפטים והוכחות
משפט הייחודיות
יהי
- איבר ה-0 הוא יחיד ואיבר ה-1 הוא גם יחיד
- הנגדי
הוא יחיד, וההופכי הוא יחיד (עבור ) - לכל
מתקיים - לכל
אם אז או לכל
וגם