סדרה מונוטונית

הגדרה

סדרה תקרא:
מונוטונית עולה חלש אם לכל מתקיים
מונוטונית יורדת חלש אם לכל מתקיים
מונוטונית עולה חזק אם לכל מתקיים
מונוטונית יורדת חזק אם לכל מתקיים
ואם היא אחת מהן, ניתן גם לומר עליה שהיא מונוטונית.

משפט

תהא סדרה מונוטונית וחסומה
אזי קיים לה גבול.

הערה

אם מונוטונית עולה וחסומה מלמעלה היא מתכנסת לסופרימום שלה (אותו דבר לגבי יורדת, חסומה מלמטה והאינפימום)

טענה

אם מונוטונית עולה ולא חסומה שואפת לאינסוף

מסקנה

כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב.

הוכחה

נניח בה”כ שהסדרה מונוטונית עולה (חלש)
נתבונן בקבוצה , הקבוצה הזו חסומה (כי הסדרה חסומה) ולכן חסומה מלעיל
לכן קיים , נוכיח כי
יהי . מאחר ו קיים כך ש
ולכן ממונוטוניות לכל 2 מתקיים

כלומר כנדרש

משפט

תהא סדרה מונוטונית
אזי קיים לה גבול במובן הרחב

הוכחה

בה”כ עולה חלש
אם חסומה, אזי יש לה גבול כפי שכבר הוכחנו
אחרת, לא חסומה. נוכיח שהיא מתכנסת ל
יהי , קיים כך ש
ולכן ממונוטוניות לכל מתקבל

לפי הגדרת הגבול הרחב,