תנאי קושי לפונקציות

הגדרה

פונקציה מקיימת את תנאי קושי בנקודה אם לכל יש כך שאם ו אז

משפט

לפונקציה יש גבול בנקודה היא מקיימת את תנאי קושי ב.

הוכחה

ראשית נוכיח
נניח ש-
נתון מהגדרת הגבול. קיים כך שאם אז
אם ו אז

אזהרה חשובה

אין לי מושג אם העתקתי את זה נכון
גם אם כן, בוודאות לא הבנתי מה קורה פה.
הוא לא ברור במיוחד
אני פתאום מתגעגע לשי

כעת נוכיח
נגדיר
טענה: הסדרה היא סדרת קושי.
הוכחה: נתון , צריך להוכיח כי קיים כך שאם אז . מכיוון ש מקיימת את תנאי קושי בנקודה , קיים כך שאם ו אז
מבחר ,אם אז ו ולכן
מכיוון ש סדרת קושי, יש לה גבול. נסמן את הגבול ב-
כעת נראה שמתקיים
יהי , מתנאי קושי נובע שקיים כך שלכל מתקיים
מכיוון ש קיים כך שלכל מתקיים
ניקח
נניח ש
וגם
ולכן
וגם
ולכן

הוכחנו?
אולי?
לא יודע?
לא סגור מה ניסינו להוכיח
לא סגור מה היו השלבים
לא יודע מה הייתה התוצאה

משפחת סביבות

הגדרה

משפחת סביבות היא אוסף לא ריק של קבוצות שמקיים , אז קיים כך ש (בפרט מתקיים אם )

דוגמאות

• כל הסביבות של נקודה כשלהי
• כל הסביבות הנקובות של נקודה כלשהי
• משהו חד צדדית
• האוסף