קבוצות
קבוצות הן שוות אם יש להן בדיוק אותם איברים
הראנו כמה קבוצות מוכרות
הערה
שימו לב שלא הגדרנו מפורשות קבוצות אלו. נראה בניה של חלק הקבוצות במהלך הקורס, ואת השאר רואים בקורסים אחרים.
דוגמה לכתיבת קבוצות
דוגמה
מי זו הקבוצה הבאה:
אפשר לומר על הקבוצה שכל ההאיברים בה שלמים (המספרים השלמים סגורים תחת חיבור וכפל), נראה אילו.
לכל
כלומר כל
אם נבחר
כלומר כל
כלומר
הוכחה לטענה על תכונות הקבוצה
- יהי
, אז ולכן (לפי ההגדרה) - נניח בשלילה ש
, לכן קיים כך ש , וזה מקיים סתירה כי בקבוצה הריקה אין איברים. נניח ש וגם . נניח בשלילה ש . כלומר קיים כך ש , או שקיים כך ש ץ
נניח בלי הגבלת כלליות שקייםכך ש . כלומר , סתירה להנחת היסוד
, נניח
א.: יהי , ולכן
ב.: יהי , ולכן
(אפשר לומר: ההכלה השנייה באופן דומה)
בלי הגבלת הכלליות
כאשר ניתן להוכיח עבור מקרה פרטי, וזה לא משנה להוכחה הכללית
ניתן לכתוב גם בה”כ
- יהי
, מהנתון ולכן ומהנתון מה שאומר ש כנדרש
הכלה דו כיוונית
תנאי (3) של הטענה האחרונה נותן הגדרה שקולה לשיוויון קבוצות. הרבה פעמים יהיה נוח להשתמש בהגדרה שקולה זו בשביל להוכיח שיוויון בין קבוצות.
זה נקרא “הכלה דו-כיוונית”.
למדנו על פעולות בין קבוצות
דוגמה
נתבונן ב
הוכחה לטענה על תכונות של פעולות על קבוצות
לעשות
הוכחה 1-4, 6
- נעשה הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית
הראינו הכלה דו כיוונית, מכיוון שמצד אחד
ומהצד השני
תרגיל
להוכיח את
נסמן, ,
תרגיל
חוקי דה מורגן
תרגיל
ציירו דיאגרמות ון לכל הטענות
הוכיחו את 1+2 ללא תלות בסעיף 3