גליון 2

תרגיל 1

הסימונים ו- מייצגים “ערך שקר” ו”ערך אמת”.
הוכיחו/הפריכו כל אחת מהטענות הבאות.

1. לכל קיים כך ש- אמת.
2. קיים כך שלכל מתקיים ש- אמת.
3. לכל קיים כך ש- אמת.

פתרון 1

1. כן, נסתכל על שתי האפשרויות. אם יוצא באחת השורות בעמודה הימנית, אזי הטענה נכונה.
   ראשית

ראינו שיש (אפילו כולם) שעבורו אמת כש אמת. נבדוק לגבי שקר.

ראינו שיש שעבורו אמת כש אמת. מכיוון שהראינו שזה אכן מתרחש לכל , הטענה נכונה.
2. כן, . נסתכל על טבלת האמת עם כל . אם יוצא בכל אחת מהשורות בעמודה הימנית. אזי הטענה נכונה

ראינו שעבור כל מתרחש אמת ולכן הטענה נכונה.
3. לא, נביא דוגמה נגדית.
בעבור אין כך ש אמת. נוכיח באמצעות טבלת אמת

אין שעבורו אמת ולכן הטענה לא נכונה

תרגיל 2

1. הראו שלכל ראשוני ו- טבעי מתקיים כי מתחלק ב- אמ”מ מתחלק ב-.
2. הראו שלכל ראשוני, המספר אינו רציונלי.

פתרון 2

1. ראשית, נוכיח את הכיוון כלומר אם אזי
   אם זה אומר שקיים כך ש. מכיוון ש ניתן לומר ש. מה שאומר ש.
   עכשיו נוכיח את כלומר אם אזי
   אם זה אומר ש. ידוע כי אם אז או ש או ש. או במקרה הזה שתי האפשרויות אומרות ש
   
2. נניח בשלילה כי לכל ראשוני, רציונלי
   אם רציונלי זה אומר שניתן לכתוב את כש. כלומר

כלומר , על פי מה שהוכחנו, זה אומר ש. מה שסותר את היות ראשוני.

תרגיל 3

לכל אחת מהקבוצות הבאות, כתבו את גודל הקבוצה, מנו את איברי הקבוצה ומנו את כל תתי הקבוצות של הקבוצה.

פתרון 3

1. גודל הקבוצה .
2. גודל הקבוצה .
3. גודל הקבוצה 1.
4. גודל הקבוצה 1,
5. גודל הקבוצה 2.
6. גודל הקבוצה 2.
7. גודל הקבוצה 2.