גליון 2

שאלה 1

יהא שדה. עבור נסמן (בהנחה כי הפיך). הוכיחו את הזהויות הבאות באמצעות אקסיומות השדה (יש לנמק היטב).
א.

ב.

ג.

פתרון 1

א.
נכתוב מחדש את מה שצריך להוכיח לפי הסימון שנתון לנו

ראשית נראה את יחידות האיבר ההופכי, על הגדרת ההופכי, לכל , קיים נגדי . נניח בשלילה שקיימים כך שגם וגם איברים נגדיים של

הגענו לסתירה, ולכן לכל איבר קיים הופכי בודד.
עכשיו נרצה להוכיח כי לכל , מתקיים
לפי תכונות ההופכי והאקסיומה ששדה סגור תחת כפל

על פי יחידות ההופכי שהוכחנו, אם אזי

ולכן
כלומר

נרצה להראות ש
על פי הגדרת ההופכי, לכל , מתקיים . נסתכל על ההופכי של

לפי יחידות האיבר ההופכי,
כלומר

על פי הסימון (וזה שהכפל קומוטטיבי)

ב.
נכתוב מחדש את מה שצריך להוכיח על פי הסימון

מכיוון שכפל הוא קומוטטיבי ואסוציאטיבי ניתן לכתוב ש

בסעיף הקודם הוכחנו כי לכל מתקיים
ולכן

על פי הסימון

ג.
נכתוב מחדש את מה שצריך להוכיח על פי הסימון

על פי אקסיומות השדה, הוא אדיש כפלית ולכן אפשר להכפיל כל ביטוי ב, בנוסף
כלומר
נכתוב מחדש את הביטוי

על פי קומוטוטיביות ואסוציאטיביות הכפל, אפשר לכתוב

בצורה דומה

נכתוב מחדש את הביטוי

על פי אקסיומות השדה, הכפל דיסטריביוטיבי על החיבור ולכן

שאלה 2

א.
יהא כלשהו. נתבונן בתת-קבוצה הבאה של :

הוכיחו כי תת-שדה של .
ב.
הוכיחו כי כל תת-שדה של בהכרח מכיל את .

פתרון 2

ידוע כי על מנת להוכיח שתת-קבוצה תחת שדה היא תת-שדה צריך להוכיח שלושה דברים: קיום איבר שאינו איבר ה, סגירות לכפל וחיבור, והמצאות האיבר הופכי והאיבר נגדי בתת-קבוצה. לכן אלו הדברים שנרצה להוכיח
על מנת להוכיח שקיים איבר השונה מ, ניתן לראות כי נמצא ב ואינו איבר ה.
על מנת להראות ש סגורה לחיבור, נראה שלכל , מתקיים
נגדיר את

נסתכל על החיבור שלהם

כי סגורה לחיבור, אותו דבר לגבי
ולכן סגורה לחיבור.
נסתכל עכשיו על

כי סגורה לכפל. כי סגורה לכפל ולחיבור.
ולכן סגורה לכפל.
נשאר רק להוכיח את האיבר ההופכי והנגדי
ראשית נוכיח כי
נסתכל על הנגדי של , ונוכיח שהוא ב

כי ו סגורה לכפל. אותו דבר לגבי
נסתכל על ההופכי של ונוכיח שהוא ב

מקיים את כל התכונות של תת-שדה של ולכן תת שדה של .

ב.
יהי להיות תת שדה של .
על מנת להוכיח ש נרצה להוכיח שלכל מתקיים
נוכיח קודם ש ותת שדה של .
ידוע ש שדה ולכן צריך רק להוכיח ש
על מנת לעשות זאת צריך להראות שכל מקיים
נפרק למקרים.
נמצא כי על פי ההגדרה של כתת שדה של .
, ניתן לכתוב כ. נשים לב ש על פי ההגדרה של כתת שדה של .
, ניתן לכתוב כ. נשים לב ש כי הוא הנגדי של .
הוכחנו כי , מה שאומר שלכל מתקיים כי סגור להופכיים ולכפל.
על פי ההגדרה של
אפשר לראות כי .
מכיוון ש הוגדר לכל תת-שדה של . כל תת שדה של בהכרח מכיל את .

שאלה 3

א.
יהא שדה סופי עם מספר זוגי של איברים. הראו כי מתקיים
ב.
באמצעות סעיף א’, הסיקו כי לא קיים שדה עם שישה איברים

פתרון 3

נניח בשלילה כי לכל איבר בשדה הסופי שבו יש כמות זוגית של איברים מתקיים כלומר
זה אומר שעל כל איבר קיים גם ההופכי שלו. כלומר כמות האיברים בשדה היא מספר זוגי + 1 (כי ל0 אין הופכי). כלומר כמות האיברים היא אי-זוגית, הגענו לסתירה.

ב.
נניח בשלילה כי קיים שדה בעל שישה איברים.
נגדיר את איבריו:
ארבעת האיברים הראשונים זהים לשדה בעל ארבעת האיברים כאשר נבחר כך ש, בשביל שישה איברים נצטרך להוסיף עוד שניים.
מכיוון ש סגור תחת חיבור, גם נמצא ב, וגם .
נתבונן ב, מכיוון ש סגור תחת חיבור. צריך להיות שווה לאיבר אחר ב. נבדוק לכל אחד מהאיברים, אם נראה ש לא שווה לאף איבר אחר ב, נגיע לסתירה

(*) כפי שהוכחנו בסעיף הקודם, בשדה בעל כמות זוגית של איברים, כל איבר שווה להופכי של עצמו
(**) על פי הגדרת ,
הגענו לסתירה

שאלה 4

יהא שדה. תהא פונקציה המקיימת את התכונות הבאות:

נסמן

הוכיחו כי או

פתרון 4

צריך להוכיח בעצם שאם ישנו איבר אחד שמקיים, אזי זה נכון לכל האיברים מלבד עצמו.
נניח בשלילה שקיים יחיד
נגדיר, כי הפלט של תמיד ב, בנוסף כי הגדרנו את בתור האיבר היחיד שעבורו מוציא
נסתכל על

אבל אפשר גם לכתוב

כלומר , סתירה.

שאלה 5

א.
מצאו את שארית החלוקה של ב
ב.
הוכיחו מתחלק ב לכל מספר טבעי וחיובי .
ג.
אולי אחר כך

פתרון 5

א.
על מנת למצוא את שארית החלוקה של ב צריך למצוא את הערך של .
נשים לב ש.

ב.
נפעיל על הביטוי, אם התוצאה היא אזי הביטוי מתחלק ב11