גליון 1

שאלה 1

א. פתרו את המשוואה
ב. ב. יהיו מספרים מרוכבים המקיימים לכל . נתון כי . חשבו את ערך הביטוי:

פתרון

א.
נתבונן בצד השמאלי של המשוואה
ראשית, נשים לב ש
נכתוב מחדש את המשוואה ונפרק לחלק ממשי וחלק מדומה

עכשיו כשיש לנו חלק ממשי () וחלק מדומה (), נשווה ל

קיבלנו את שני השורשים הריבועיים של

ב.
ראשית, נרצה להוציא את המספר המרוכב מהמכנה, נעשה זאת באמצעות הכפלה בצמוד.

(*) נתון לנו ש
נכתוב מחדש את הביטוי שעלינו לחשב

שאלה 2

א. יהיו מספרים מרוכבים שאינם ממשיים, כך שמתקיים . הוכיחו כי קיים כך שמתקיים
ב. יהא . הוכיחו כי:

ג. הוכיחו כי קיימים זוג מספרים שלמים כך שמתקיים:

פתרון

א. נכתוב מחדש את ונפרק אותם לחלק ממשי וחלק מדומה, נשים לב שהחלק המדומה שונה מ-

ראשית נרצה לטפל במקרה הקצה שבו אחד המספרים הוא מדומה טהור, נבדוק מה קורה כשהתנאי מתרחש ואחד המספרים הוא מדומה טהור

נשווה ממשי ומרוכב בנפרד

מכאן מגיעות שתי מסקנות. הראשונה היא ש מדומה טהור אם ורק אם מדומה טהור, השנייה היא שבמצב הזה
הגענו לפתרון כש ו מדומים טהורים, עכשיו נפתור לשאר המקרים ונדע ש
נתבונן במכפלת ו

ידוע לנו ש, כלומר החלק המדומה שווה ל

נציב את בנוסחה

נשווה שוב בנפרד את החלק הממשי והחלק המדומה, המטרה שלנו היא להראות שיש ערך זהה ל שיהיה מתאים גם לחלק הממשי וגם לחלק המדומה כדי שנוכל להשתמש בו

ב. ראשית, נרצה להוציא את המספר המרוכב מהמכנים, נעשה זאת באמצעות הכפלה בצמוד.

ונכתוב מחדש את הביטוי

נפתח סוגריים

נכתוב מחדש את על מנת להפריד בין החלק הממשי לחלק המדומה, ונכתוב כך מחדש את המשוואה

כעת כל מה שצריך להוכיח זה ש

יצא לנו פסוק אמת מכיוון שגם המונה וגם המכנה חיוביים (המונה הוא והמכנה הוא סכום של שני מספר בריבוע ושונה מ ולכן חיובי) כך שהביטוי מצד שמאל של המשוואה חיובי ובכך גדול מ

ג. למען הנוחות ניתן שמות למספרים בנוסחה:
נכתוב מחדש את הנוסחא

ניתן להסתכל על כל ביטוי שבתוך סוגריים בתור מודול של מספר מרוכב בריבוע, נתייחס כך לצד השמאלי של המשוואה ונפתח סוגריים

נשים את מה שיצא לנו במשוואה המקורית

מכאן אפשר לומר ש

מכיוון ש סגורה לחיבור, חיסור וכפל ו.

שאלה 3

מספר מרוכב ייקרא שורש יחידה מסדר ( כלשהו) אם הוא פתרון .
א. מצאו את שורשי היחידה מסדר בהצגה פולרית.
ב. יהא . מהו סכום שורשי היחידה מסדר ?
ג. מהי מכפלת שורשי היחידה מסדר ?

פתרון

א. , נמצא את הארגומנט והמודול של

על פי משפט דה-מואבר ניתן לכתוב את השורשים של כ כש
נציב ב שלנו.

ב. נתבנון ב

נקרא ל, כלומר . עכשיו נכתוב את הסכום

יצא לנו סכום של סדרה הנדסית כש ו

ג. נשאר עם ההגדרה ל מהסעיף הקודם ונתבונן במכפלה

על פי חוקי חזקות ניתן גם לכתוב

נראה שבחזקה יש סדרה חשבונית שבה ו

נחשב את סכום האיברים הראשונים

נציב בחזרה ב, ונפתח את בחזרה לערך המקורי

הוא מספר מרוכב בעל מודול וזוויות של כלומר
מה שאומר ש

שאלה 4

א. הוכיחו את מבחן השורש הרציונלי - יהא פולינום עם מקדמים שלמים. אם ל- יש שורש רציונלי אזי ו-
ב. הוכיחו את נוסחת וייטה - יהא פולינום ממשי/מרוכב. נסמן את שורשיו (כולל ריבוי) בתור . אזי:

פתרון

א.

נכפיל שכמובן שונה מ

הביטוי בתוך הסוגריים שלם (סגירות השלמים לכפל וחיבור), נקרא לו . יוצא ש כלומר , מכיוון ש זרים, מתקיים ולכן
עכשיו נוכיח את
כמו בחצי הראשון, נכפיל ב

הביטוי בתוך הסוגריים שלם (סגירות השלמים לכפל וחיבור), נקרא לו . יוצא ש כלומר , מכיוון ש זרים, מתקיים ולכן

ב.
נציג את כמכפלת גורמים לינארים

נפתור את המשוואות באמצעות השוואת מקדמים
המקדם של בצד הימני הוא , ובצד השמאלי על מנת לקבל יש לבחור בכל מכפלה את ה ולא את ה (לכל בין ל). יש רק אפשרות אחת בשביל זה ולכן המקדם הוא
בצורה דומה המקדם של בצד הימני הוא . בצד השמאלי צריך לבחור בכל מכפלה את ה מלבד פעם אחת, יש לזה אפשרות אחת לכל ולכן , כלומר

באותה דרך אפשר להמשיך עד , כלומר המקדם החופשי. בצד הימני זה , בצד הימני יש לבחור בכל מכפלה את (על מנת לא לקבל אף )

עכשיו כשיש לנו ייצוג לכל האלמנטים בנוסחה, נסדר אותם
נזכור ש כי אז מדובר בעצם במפולינום ממעלה

הוכחנו את הנוסחה הראשונה, נוכיח את השנייה

שאלה 5

נתון הפולינום

רשמו את כמכפלת גורמים לינארים מעל .

פתרון

ניתן לראות שכל המקדמים מתחלקים ב ושאין מקדם חופשי מה שאומר שאפשר לחלק ב

מעתה נעבוד עם בשביל הנוחות ונזכור להכפיל בסוף ב (וש-) שורש

ידוע לנו שאם סכום המקדמים שווים ל אז שורש, נבדוק

נגזור לבדוק ריבוי

שורש מריבוי
נבדוק את מבחן השורש הרציונלי

בדקנו את , נבדוק את

לא שורש
נבדוק את 2

שורש מריבוי
נבדוק את

אין צורך לגזור כי לפי המשפט היסודי של האלגברה יש שורשים וכבר מצאנו מספיק, כך ש שורש מריבוי
יצא שיש ל את השורשים מריבוי , מריבוי , מריבוי . נכפיל את ב כפי שציינו קודם על מנת לקבל את