הרצאה 1

קבוצות מספרים

מספרים טבעיים

הגדרה

בקורס אלגברה_א 0 לא מופיע

תכונות:

• סגירות לחיבור/כפל
• לכל יש “איבר ראשון”, כלומר יש כך שלכל מתקיים

Link to original

מספרים שלמים

הגדרה

תכונות:

• סגירות לחיבור/כפל/חיסור

Link to original

מספרים רציונליים

הגדרה

תכונות:

• סגירות לחיבור/כפל/חיסור/חילוק

Link to original

מספרים ממשיים

הגדרה

תכונות:

Link to original

Link to original

ערך מוחלט

ערך מוחלט

הגדרה

לכל נגדיר

או לחלופין

תכונות

1. לכל

2. לכל

3. לכל

4. לכל

5. לכל

אי שוויון המשולש

6. לכל

הוכחה

אי שוויון המשולש האפל

7. לכל

הוכחה

בעצם עלינו להראות ש

ראשית כל נראה כי (על פי אי שוויון המשולש, פשוט מעבירים את ה אגף)
שנית, נראה כי

8. לכל אם אז

Link to original

משפט

יהי טבעי, אזי: אם אזי

הוכחה

נניח בשלילה כי , יהי המספר הטבעי הקטן ביותר כך ש
נגיע לסתירה המיוחלת על ידי כך שנמצא טבעי כך ש
נגדיר:

עלינו להראות:

מתרחש כיוון ש- הוא מכפלה שני מספרים חיוביים. של מהגדרה ושל כיוון שלפי ההנחה איננו שלם
מתרחש כיוון ש הוא מכפלה של ב
מכיוון ש
טבעי לפי ההגדרה, טבעי כי שני החלקים שלו טבעיים והמספרים הטבעיים סגורים תחת פעולת הכפל
הוא הפרש של שני מספרים טבעיים, ולכן הוא מספר שלם, אבל ראינו כי גדול מ ולכן

נותר להראות כי , ידוע כי לכן די להראות ש שלם

במשוואה הזו, חיובי (מכפלה של שני מספרים שלמים), שלם על פי ההגדרה של השאלה, שלם כי מדובר בקירוב למספר שלם כלשהו